Засечкой называют относительно простой метод вычисления координат некоторой точки посредством измерения на ней углов и расстояний по направлению на уже закрепленные на местности контуры.
К ней достаточно часто прибегают в различных геологических, строительных и инженерных работах за счет ее простоты и экономичности. На практике обратная засечка чаще всего используются для вычисления координат пунктов геодезической сети, выноса в натуру проектных точек и т.д.
Опытный геодезист сможет без труда провести нужные измерения при помощи теодолита, тахеометра или любого другого прибора всего за пару минут.
Содержание
Виды засечек
В зависимости от местности и способов построения сетей сгущения в геодезии существует два основных вида привязки к опорным пунктам:
- Непосредственная. Подразумевает привязку теодолитного или полигонометрического хода к триангуляционным пунктам высшего класса с возможностью выполнить измерения примычных углов. Используется в тех случаях, когда на опорных точках можно выполнить те же измерения, что и на соседних.
- Косвенная. Проводится только при отсутствии возможности провести непосредственные измерения примычных длин и углов. К этому виду привязки и относится засечка.
По способу же построения геодезическая засечка бывает:
- линейной (полярные и биполярные по числу пунктов);
- угловой (прямая и обратная);
- комбинированной (положение точки определяют по известным углам и линейным расстояниям).
В геодезии чаще всего прибегают к комбинированию прямой и обратной засечек. Кроме того, чтобы полученные результаты были наиболее достоверными, измеряют больше величин, чем нужно, а само местоположение искомых пунктов получают посредством уравнивания.
Однократная и многократная засечка
Если для определения координат берется только один исходный пункт, то такая засечка будет называться однократной, а если более трех – многократной.
В основе обратной однократной угловой засечки лежит так называемая задача Потенота, которая была названа в честь французского математика Лорана Потенота, удачно решившего ее еще в 1692 году. Ученый предложил по известным значениям трех близлежащих точек вычислять координаты искомой.
На сегодняшний день существует уже более ста вариаций ее решения, которые были предложены многими именитыми учеными, но в геодезической практике наибольшую популярность получили формулы Жана Деламбра, Кнейссля и Гаусса.
Рисунок 1. Обратная многократная засечка
Важно отметить, что достоверные данные удается получить только в тех случаях, когда искомая точка находится в пределах треугольника, который образовали исходные пункты или же вне его, но напротив одной из его вершин.
Если же искомая точка попадает в пределы окружности, проходящей через эти точки, она становится неопределяемой. Этот ключевой недостаток в задаче Потенота, именуемый опасным кругом, приводит к необходимости определения дополнительной точки.
Обратная многократная угловая засечка как раз и подразумевает определение местоположения пункта через измерения на этом самом пункте углов или направлений как минимум на четыре твердых пункта, чьи координаты установлены. Этот метод более трудоемкий, но гарантирует надежный контроль результатов измерений. При обработке данных используют метод Гаусса-Ньютона, который в геодезии также называют параметрическим.
Способ Деламбра
Решение обратной засечки при помощи этого способа выполняется в такой последовательности:
- Вычисляется дирекционный угол исходного направления с отметки 1 на точку «0» по формуле обратной геодезической засечки:
\(tan \alpha _{1-P}= \frac{(y_{2}-y_{1})ctg\beta _{1}+(y_{1}-y_{3})ctg\beta _{2}-x_{2}+x_{3}}{(x_{2}-x_{1})ctg\beta _{1}+(x_{1}-x_{3})ctg\beta _{2}+y_{2}-y_{3}} =\frac{\Delta y}{\Delta x}\)
- Значения дирекционных углов с исходных отметок Т2, Т3, Т4 получают из формул:
\(\alpha _{2-P}=\alpha _{1-P}+\beta _{1}\)
\(\alpha _{3-P}=\alpha _{1-P}+\beta _{2}\)
\(\alpha _{4-P}=\alpha _{1-P}+\beta _{3}\)
- Находят координаты точки Р с помощью формул тангенсов или котангенсов дирекционных углов направлений.
Комбинация 1:
\(x_{P}=\frac{x_{1}tg\alpha_{1-P}tg\alpha_{2-P}+y_{2}-y_{1}}{tg\alpha_{1-P}-tg\alpha _{2-P}}\)
\(y’_{P}=y_{1}+(x_{P}-x_{1})tg\alpha _{1-P}\)
\(y”_{P}=y_{2}+(x_{P}-x_{2})tg\alpha _{2-P}\)
Комбинация 2:
Создавайте будущее вместе с нами
Присоединяйтесь к нашей команде: мы создаем финтех-сервисы для 28 млн клиентов и опережаем рынок на 5 лет. Работаем на результат и делаем больше, чем от нас ждут.
\(x_{P}=\frac{x_{3}tg\alpha_{3-P}-x_{4}tg\alpha_{4-P}+y_{4}-y_{3}}{tg\alpha_{3-P}-tg\alpha _{4-P}}\)
\(y’_{P}=y_{3}+(x_{P}-x_{3})tg\alpha _{3-P}\)
\(y”_{P}=y_{4}+(x_{P}-x_{4})tg\alpha _{4-P}\)
Способ Кнейссля
Аналогично способу Деламбра последовательность формул при решении задачи обратной геодезической засечки по Кнейсслю будет иметь следующий вид:
- Определяются вспомогательные коэффициенты:
\(k_{1}=(x_{2}-x_{1})ctg\beta_{1}+(y_{2}-y_{1})\)
\(k_{2}=(y_{2}-y_{1})ctg\beta_{1}+(x_{2}-x_{1})\)
\(k_{3}=(x_{3}-x_{1})ctg\beta_{2}+(y_{3}-y_{1})\)
\(k_{4}=(y_{3}-y_{1})ctg\beta_{2}+(x_{3}-x_{1})\)
- Вычисляется котангенс дирекционного угла исходного направления на заданный пункт:
\(c=ctg\alpha _{1-P}=\frac{k_{1}-k_{3}}{k_{2}-k_{4}}\)
- Приращения координаты точки Р относительно исходного пункта 1 находят при помощи нижеприведенных формул:
\(\Delta y_{1-P}=\frac{k_{1}-ck_{2}}{1+c^{2}}=\frac{k_{3}-ck_{4}}{1+c^{2}}\)
\(\Delta x_{1-P}=c\cdot \Delta y_{1-P}\)
- Определяются координаты точки Р:
\(x_{P}=x_{1}+\Delta x_{1-P}\)
\(y_{P}=y_{1}+\Delta y_{1-P}\)
- Средняя квадратическая погрешность вычисления местоположения пункта Р по трем направлениям вычисляется при помощи выражения:
\(M_{P}=\frac{d_{BP}\cdot m”_{\beta}}{\rho ”sin(\varphi_{1} +\varphi_{2})} \sqrt{\frac{d_{1}^{2}}{a^{2}}+ {\frac{d_{2}^{2}}{b^{2}}}}\)
- Оценивается точность обратной угловой засечки по способу Кнейссля с определением погрешности:
\(M=\sqrt{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}}\)
- Допустимость в расхождениях полученных значений двух вариантов решений выполняется по формуле:
\(r+\sqrt{(x’-x”)^2+(y’-y”)^2}\leq 3M\)
Если данное условие соблюдено, то итоговое значение координат берется как среднее арифметическое значение из результатов двух решений.
Уравнивание при помощи параметрического способа
Под определение обратной многократной угловой засечки попадает как совокупность простых однократных измерений, так и просто большое количество избыточных. Однако в обоих случаях необходимо уравнивание, которое выполняется по измеренным углам и направлениям.
К примеру, неизвестные \(x_{p}\) и \(y_{p}\) – координаты точки Р, которые в данном способе будут представлены в качестве параметров. Для этого их представляют в виде приближенных значений \(x_{0}\), \(y_{0}\) и поправок к ним \(δх\) и \(δу\).
\(\left\{\begin{matrix}x_{p}=x_{0}+\delta x
& \\ y_{p}=y_{0}+\delta y
&
\end{matrix}\right.\)
В приведенном уравнении \(x_{0}\) и \(y_{0}\) – результаты обработки однократных засечек, а \(δх\) и \(δу\) получают через уравнивание методом наименьших квадратов параметрическим способом с применением дифференциальных формул.
Этот метод подразумевает применение не только параметрического, но и коррелатного способа. Они дают одинаковые результаты, но отличаются по объему вычислений.
Однако в геодезической практике целесообразнее применять параметрический способ, поскольку при любом количестве избыточных измерений число нормальных уравнений будет аналогично числу неизвестных. При этом каждое неизвестное будет представлено в виде суммы приближенного значения и его поправки.
Сферы применения
Обратная угловая засечка нашла широкое применение в строительстве высотных зданий и сооружений, вроде опорных конструкций для мостов и дымовых труб. Кроем того, она позволяет быстро построить строительную сетку или определить местоположение точки в пространстве. В геодезии ее нередко используют в трилатерации и триангуляции.
Нельзя также не упомянуть ее огромного практического значения в навигации и военном деле. В частности, засечка по обратным дирекционным углам используется для топографогеодезической подготовки командно-наблюдательного пункта и позиции ведения огня.
Загрузка...
